Tuesday, February 19, 2013

兩封利是的謎題


2013年2月16日
曾國平 經濟3.0

本文見報之日,已經是蛇年。筆者祝大家身心健康、工作順利!近日香港的政經環境污煙瘴氣,民粹當道加上為政者的不智,多談港事實在破壞心情。雖然今天大家要重新投入工作,但新年氣氛仍在,為延續節日氣氛,今天打算拋開俗事,跟大家談一個統計學問題。

筆者多年在外,從未有機會在香港派利是,未來若有機會,會跟小孩玩玩以下的遊戲:我會給小孩兩個看來一模一樣的利是封,並告之其中一個利是封內的金錢是另一封的一倍。小孩先選一封,拆開看過內裏的數額後,再在該封利是和另一封未拆開的之間二擇其一。

小孩要拿最多的金錢,該選拆了那封利是,還是選未拆那封?

計算期望值找答案

要找答案,我們可計算期望值(expected value)。若小孩拆開第一封利是內有20元,剩下那封利是的期望值可算成:

1/2x10元+1/2x40元=25元

為何要這樣計算呢?小孩手上的20元有一半機會屬於數額較少的利是,即另一封利是有一半機會有40元;同時,小孩手上的20元有一半機會是屬於數額較多的利是,即另一封利是有一半機會只有10元。機會一半半,選擇未拆開那封利是的期望值是25元,比留着已拆開那封利是內的20元多,結論是小孩要另選未拆那封利是!

答案有點奇怪。兩個利是封看來一模一樣,小孩最初選擇打開那封必然只是隨意的選擇。既然是隨意選的,即有一半機會錢較多、一半機會錢較少,另選一封何利之有?不過,無論拆開的利是內有多少錢(20元也好,2000元也好),轉拿未拆那封利是的期望值一樣較高。小孩於是非常困惑,面對兩個利是封不知如何是好。

這個有趣的問題本來叫做兩個信封悖論(two-envelope paradox)。筆者為迎合民情,把信封轉作利是封!

以上的解題方法有什麼錯誤?出乎意料的是,悖論的內容雖然簡單,但有關的文獻多不勝數,爭論的是如何計算另選未拆那封的回報,文獻中的解題方法牽涉一些數學理論,不宜在此討論。筆者只簡單介紹其中一個頗有啟發性的解題方法。

悖論的癥結,在於拆開第一封利是後,假設小孩沒有獲得任何資訊。換句話說,拆開第一封利是後,即使內有20元也好、2000元也好,那封未拆利是內有數額較大金錢的機會,都只會被看成一半半。這個假設有問題嗎?

事前信念與事後信念

聰明的小孩見到筆者衣着寒酸,手提電話是十年前的款式,小孩必形成筆者派利是出手有限的事前信念(prior belief)。小孩心想,這位仁兄派的利是肯定不會過100元,但至少也會派5元;小孩把利是打開,若果見到內有80元,會相信另一未拆的利是內有40元的機會比有160元的機會大,傾向不另選未拆的那封利是。為什麼?基於小孩的先前信念,發現利是封內有80元以後,由於接近小孩心中的「最高派彩」,形成的事後信念(posterior belief),認為自己選中數額較高利是的機會超過一半。

相反,若果筆者身光頸靚,手握最新款的手機,小孩必形成筆者派利是出手不凡的事前信念。小孩心想,這位仁兄派的利是應該不少過50元,且甚至會派500元。小孩把選中的利是封打開,若果同樣地見到內有80元,會相信另一利是內有160元的機會比只有40元的機會大,傾向另選未拆的那封利是。為什麼?因為利是內的80元接近小孩心中的「最低派彩」也。

同一封80元的利是,但由於信念的不同,前者把80元袋袋平安,後者則另選利是封。這解題方法應用了統計學中的貝葉斯規則(Bayes' Rule)。這個有趣的悖論也可應用到日常的生活上。

跟伴侶到餐廳吃飯,有A餐B餐選擇,但你不知選哪個好。伴侶先點了A餐,你試了一口覺得味道普通。你應該跟伴侶一樣點A餐,還是選點B餐?這要看你對餐廳的事前信念是什麼。若你對餐廳的印象麻麻,到那裏吃飯是無可奈何,味道普通的A餐已接近你心中該餐廳可達到的最高水平,你當然不會選B餐,因為中招的機會高;相反,若你對餐廳的印象很好,味道普通的A餐你認為是該餐廳水準以下的表現,你會傾向選B餐,因為有驚喜的機會較高。

雖然說過今天不談時事,但也忍不住問讀者一個妙想天開的問題:拆開過梁振英這封利是後,你會另選唐英年那封未拆的利是嗎?

曾國平
維珍尼亞理工大學經濟系助理教授

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